上連續,則至少存在一點ab,使 上b，下a f x dx fb a 是否正確

1樓：匿名使用者

積分中值定理

正確，這是積分中值定理，從幾何角度理解，即曲線下面積等於藍色矩形面積

（1）定理：若函式f（x）的圖象在區間[a，b]上連續，且在（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），

2樓：小冷

證明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=1 ξ，x＜ξ＜y               …（1分）（注1：只要構造出函式f（x）=lnx即給1分）故lny-lnx=y-x ξ

，又y-x y

＜y-x ξ

＜y-x x

…（*）    …（2分）

即1-y x

＜lny-lnx＜y x

-1（0＜x＜y）  …（3分）

②證明：由（*）式可得2-1 2

＜ln2-ln1＜2-1 1

，3-2 2

＜ln3-ln2＜3-2 2

，…n-(n-1) n

＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1)

n-1，…（6分）

上述不等式相加，得n

k-21 k

＜lnn＜n-1

k-11 k

（n＞1）…（8分）

（注：能給出疊加式中的任何一個即給（1分），能給出一般式n-(n-1) n

＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1)

n-1，給出2分）

（2）下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）不恆成立．

（注：能猜出n≥3時等式不恆成立即給1分）當n=1時，f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）顯然成立．…（9分）

當n=2時，f（x）-f（y）=x2 -y2 =2（x+y 2）（x-y）=f′（x+y 2

）（x-y）．…（10分）

下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）不恆成立．

不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2n-1 =n．                         …（11分）

當n≥3時，2n-1 =（1+1）n-1 =c0n-1

+c1n-1

+…+c

n-1n-1

≥2+c

1n-1

=n+1＞n，…（13分）

因此，n≥3時方程2n-1 =n無解．

故n的所有可能值為1和2．…（14分）

設f(x)在[a,b]上連續，且f(x)＞0,證明：至少存在一點ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=

3樓：援手

令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第一個積分限a到x，第二個積分限x到b），根據變上限積分的求導法則，g'(x)=f(x)∫f(t)dt（積分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（積分限a到x），由於g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（積分限a到b），根據羅爾定理，存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f(ξ)∫f(t)dt（積分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（積分限a到ξ），由於f(ξ)>0，上式兩邊除f(ξ)即得要證的等式。

這種題關鍵就在於構造輔助函式，一般將要證的式子變形，其中有ξ的地方換成x，為了用羅爾定理，就要讓輔助函式在區間端點的函式值相等，且想辦法讓輔助函式的導函式等於0時的表示式和要證的等式儘可能相似。

設函式f(x)在[a,b]上連續,且a