1樓：不想註冊a度娘
第一,實對稱矩陣是可以正交相似對角化的.
即a實對稱則存在正交矩陣p,使得:p轉置ap=對角陣(對角線上元素正好是n個特徵值).
這樣的話就可以先不管a,我們先只看他的相似對角型,即只考慮對角陣,對角陣記為b
由於a的行列式為負值,a的行列式等於n個特徵根的乘積.所以一定有負的特徵根(反正:如果特徵根全正,那麼其乘積 也就是行列式的值也是正的與條件矛盾)不妨設,對角陣的第一個元素是負的a1<0
那麼我們取,列向量y=(1,0,0,...,0,0)的轉置 (就是第一個元素是1,其他n-1個是0)則 y轉置by=a1<0.
又回頭看 p轉置ap=b,所以 令x=py,這個x就是我們要找的那個向量.
我們來驗證一下:x轉置ax=y轉置p轉置apy=y轉置by=a1<0,回答完畢.
不知道你線代基礎怎麼樣,我回答的是大體思路和我預想的你可能不懂的地方.不懂可以繼續追問
2樓：匿名使用者
這顯然 是錯誤的 ，例如單位 矩陣是個實對稱矩陣，就找不到x滿足此條件
lz大概還不知道什麼叫「正定」二次型吧
設a是n階實數矩陣，若對所有n維向量x，恆有x^tax=0，證明：a為反對稱矩陣
3樓：匿名使用者
因為 a+a^t 是對稱矩陣
且 x^t(a+a^t)x = x^tax + x^ta^tx = x^tax + (x^tax)^t = 0
所以 a+a^t = 0
所以 a^t = -a
故a是反對稱矩陣.
參考
4樓：汴梁布衣
x^tax=0
(x^tax)^t=x^t(a)^tx=0x^tax+x^t(a)^tx=0
x^t[a+(a)^t]x=0
因為a+(a)^t是實對稱矩陣
所以a+(a)^t=0
(a)^t=-a
a為反對稱矩陣
設a為一個n級實對稱矩陣,且|a|<0,證明:必存在實n維向量x不等於0使x'ax<0
5樓：電燈劍客
a的所有特徵值都是實的，|a|<0說明a至少有一個特徵值時負的，把它的特徵向量取成x就行了
6樓：無所謂的文庫
證明：因為a為一個n級實對稱矩陣,
因此存在正交矩陣p滿足：
p'ap=diag(a1,a2,...,an). [p'=p^-1]其中a1,a2,...,an是a的特徵值.
又因為：|a|=a1a2...an<0
所以a1,a2,...,an中必有負數.
設 a1<0. （備註：可調整p的列向量的順序實現）令x=p(1,0,0,...,0)'
則有：x'ax=[p(1,0,0,...,0)']a[p(1,0,0,...,0)']
= (1,0,0,...,0)p'ap(1,0,0,...,0)'
= (1,0,0,...,0)diag(a1,a2,...,an)(1,0,0,...,0)'
= a1 < 0.
由此可知，必存在實n維向量x不等於0使x'ax<0
設a為n階實對稱矩陣,如果存在n維實向量α,β,使得α^taα>0,β^taβ<0,求證:存在n維實向量x,使得x^tax=0
7樓：匿名使用者
題目應當要求x是非零向量，否則直接取x是零向量即可。可按下圖用連續函式找出x。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
線性代數題： 設a是n階實數矩陣,若對所有n維向量x,恆有x^tax=0,證明：a為
8樓：段逆仙
兄弟，你是不是對a+(a)^t是實對稱矩陣有疑問？如果是的話，a+(a)^t確實是實對稱矩陣，因為(a+(a)^t)^t=(a^t+a)所以為實對稱矩陣
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