微分流形的四維流形
1樓：網友
在拓撲學中四維是乙個非常特殊的維數。譬如斯梅爾的龐加萊猜想的證明只應用於大於四維的維數，他的h-配變定理不能應用於四維流形。而弗裡德曼的對四維龐加萊猜想的證明則更復雜。
而且人們發現，存在四維拓撲流形，在其上不能賦予任何微分結構。而四維歐式空間是唯一乙個存在怪異微分結構的歐式空間。
對四維微分流形的研究中具有里程碑意義的是英國數學家西蒙·唐納森的工作。他的想法**於理論物理中的規範場理論。他由此定義了被稱為唐納森不變數的四維微分流形的不變數。
後來物理學家賽博格和愛德華·威騰將唐納森不變數簡化為一種更易於計算的不變數，後來被稱作賽博格-威騰不變數（seiberg-witten invariants）。這些不變數都大大推進了人們對四維微分流形的理解。
而對於四維拓撲流形，許多問題還沒有解決。其中最重要的是四維流形的光滑龐加萊猜測：（作為乙個拓撲流形）四維球面上只存在標準的微分結構。
微分流形的概念
2樓：殺生丸
參見條目：流形。
具體說來，設m是乙個豪斯多夫拓撲空間。u是m的開集，h是u到n維歐氏空間r的開集(常取為單位球內部或立方體內部等等)上的乙個同胚對映，則(u，h)稱為乙個座標圖，u稱為其中點的乙個座標鄰域。設m為開集系所覆蓋，則(uα,hα)的集合稱為m的乙個座標圖冊。
如果m的座標圖冊中任何兩個座標圖都是c相關的，則稱m有c微分結構，又稱m為n維的c微分流形。c相關是指流形m上同一點的不同座標之間的變換關係是c可微分的(k=0,1,…,或ω)，依通常記號c表示解析函式。具體來說， 如p∈uα∩uβ,(x,）(x)(i=1,…,n)分別是p在兩個座標圖(uα,hα)，uβ,hβ)下的(區域性)座標，即那麼它們之間的關係式可表為而ƒ關於x（j=1,2，…，n）具有直到k次的連續導數。
k=0時，m是拓撲流形；k>0時，就是微分流形；k=ω時，是解析流形。c流形又常稱為光滑流形。如果微分流形m是乙個仿緊或緊緻拓撲空間，則稱m為仿緊或緊緻微分流形。
如果可選取座標圖冊使微分流形m中各個座標鄰域之間的座標變換的雅可比行列式都大於零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。
同一拓撲流形可以具有本質上不同的微分結構。公尺爾諾（john milnor）首先發現作為乙個拓撲流形，七維球面上可有不同於標準微分結構的怪異微分結構。後來弗裡德曼（michael freedman）等得出如下的重要結果：
四維歐氏空間中也有多種微分結構，這與其他維數的歐氏空間只有惟一的微分結構有著重大區別。
微分流形的結構
3樓：春哥★狊劻
我們可以在微分流bai形上賦du
予不同的。幾何結構（zhi即一些dao特殊的張量場）。不同的幾回何結構就答是微分幾何不同的分支所研究的主要物件。
黎曼度量。主條目：黎曼幾何。
仿緊微分流形均可賦予黎曼度量（見黎曼幾何），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度，面積，體積等幾何量。
近復結構和複流形。
參見：複流形。
微分流形m上的乙個近復結構是m的切叢tm的乙個自同構，滿足j·j=-1。如果近復結構是可積的，那麼我們就可以找到m上的全純座標卡，使得座標變換是全純函式。這時我們得到了乙個複流形。
辛流形參見：辛幾何。
微分流形上的乙個辛結構是乙個非退化的閉的二次微分形式。這樣的流形成為辛流形。
微分流形的微分形式
4樓：裸色控
在微分流形上還可以定義外微分形式（見外微分形式）。p次外微分形式(2)是一些微分的外積的線性組合，這些微分的外積是反對稱的，即是p階反對稱協變張量，m上p次外微分形式的全體構成乙個實數域上的無限維向量空間e。對外微分形式可以進行加法運算（同次外微分形式可以相加）,外積運算（p次外微分形式與q次外微分形式的外積是乙個(p+q)次外微分形式），還可以進行外微分運算及積分運算。在區域性座標下，外微分運算為。
3) 設ω∈e且dω =0,則稱ω為閉形式。m上p次閉形式的全體構成e的乙個子空間記為z。設ω∈e,且ω=dσ(σe，則稱ω為正合形式。
正合形式一定是閉形式。m上p次正合形式的全體也構成e的乙個子空間記為b，b嶅z。商空間 (4)稱為p次德·拉姆上同調群（de rham cohomology group）。
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