1樓:demon陌
幾何意義:設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上
的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲 線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δx|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不不隨δx改變的常量,但a可以隨x改變),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:o讀作奧密克戎,希臘字母)
2樓:暴走少女
一、微分的幾何意義:
設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲 線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δx|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,可以用切線段來近似代替曲線段。
二、微分在數學中的定義:
由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。微積分的基本概念之一。
擴充套件資料:
一、推導
設函式y = f(x)在某區間內有定義,x0及x0+△x在這區間內,若函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為δy = aδx + o(δx),其中a是不依賴於△x的常數, o(δx)是△x的高階無窮小,則稱函式y = f(x)在點x0是可微的。
aδx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分,記作dy,即:dy=aδx。微分dy是自變數改變數△x的線性函式,dy與△y的差是關於△x的高階無窮小量,我們把dy稱作△y的線性主部。
得出: 當△x→0時,△y≈dy。 導數的記號為:
(dy)/(dx)=f′(x),我們可以發現,它不僅表示導數的記號,而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變數的增量等於自變數的微分),還可表示為dy=f′(x)dx。
二、微分應用
1、增函式與減函式
微分是一個鑑別函式(在指定定義域內)為增函式或減函式的有效方法。
鑑別方法:dy/dx與0進行比較,dy/dx大於0時,說明dx增加為正值時,dy增加為正值,所以函式為增函式;dy/dx小於0時,說明dx增加為正值時,dy增加為負值,所以函式為減函式。
2、變化的速率
微分在日常生活中的應用,就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。比如說,有一個水箱正在加水,水箱裡水的體積v(升)和時間t(秒)的關係為v=5-2/(t+1),
在t=3時,我們想知道此時水加入的速率,於是我們算出dv/dt=2/(t+1)^2,代入t=3後得出dv/dt=1/8。
所以我們可以得出在加水開始3秒時,水箱裡的水的體積以每秒1/8升的速率增加。
3樓:life紫羅蘭
設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量.當|δx|很小時,|δy-dy|比|δy|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.
4樓:百度使用者
曲線的切線上點的縱座標的相應增量
微分的本質幾何意義是什麼
5樓:霍去病
微分:dy=f'(x)*dx,微分就是該函式的導數乘以dx,微分的幾何意義就是:直角三角形的高〔dy〕等於正切值〔斜率、導數即f'(x)〕乘以該三角形的底邊〔dx〕。
把這些微分即微小的dy累積起來不就得到三角形的高或著說得到了函式值的本身即y=f(x)嗎?積分是把各個面積為f(x)*dx〔注意不是f'(x)哦〕的小片〔微小的長方形〕的微小面積全部累積起來,這樣是不是就得到了函式曲線與x軸所圍成的面積呢?
6樓:我們一起燥起來
幾何意義:設δx是曲線
y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲 線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δx|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。
拓展資料:
1、微分在數學中的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
微積分的基本概念之一。
2、一元型:設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:
o讀作奧密克戎,希臘字母)那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。
3、高階型:當自變數是多元變數時,導數的概念已經不適用了(儘管可以定義對某個分量的偏導數),但仍然有微分的概念。
7樓:匿名使用者
前面說的還挺對的 後面咋有點模稜兩可了 你畫條曲線 從x0處畫它的切線,與x0+δx這條線的交點,dy就是交點到f(x0)的距離,小於δy,無限分割時,dy近似等於δy
微分的幾何意義是
8樓:潭彩榮脫棋
設函式y
=f(x)在x.的鄰域內有定義,x0及x0
+δx在此區間內。如果函式的增量δy
=f(x0
+δx)
??f(x0)可表示為δy=
aδx+
o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx0)是比δx高階的無窮小,那麼稱函式f(x)在點x0是可微的,且aδx稱作函式在點x0相應於自變數增量δx的微分,記作dy,即dy
=aδx。
通常把自變數x的增量
δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx
=δx。於是函式y
=f(x)的微分又可記作dy
=f'(x)dx。函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此,導數也叫做微商。
當自變數x改變為x+△x時,相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x),如果存在一個與△x無關的常數a,使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差關於△x→0是高階無窮小量,則稱a·△x是f(x)在x的微分,記為dy,並稱f(x)在x可微。可導不一定可微,可微一定可導,這時a=f′(x)。再記a·△x=dy,則dy=f′(x)dx。
例如:d(sinx)=cosxdx。
幾何意義:
設δx是曲線y
=f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δy|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。
多元微分
同理,當自變數為多個時,可得出多元微分得定義。
運演算法則:
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
9樓:亥蘭英閉己
不是。一元函式y=f(x)的微分的幾何意義是就是對應於橫座標(自變數x)的微小變化dx,用點x處的切線在區間(x,x+dx)內代替曲線得到的縱座標y的變化量dy:dy=
f'(x)dx。
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[原創回答團]
10樓:李快來
你好:微分的幾何意義是:
這個微分方程所表示的曲線上每一個點的
斜率k例如y=x2的微分是y=2x
曲線y=x2任何x點的斜率=2x
就是這個幾何意義。
微分的幾何意義的各種情況
11樓:匿名使用者
三者基本沒有什麼直接的關係,他們也沒有什麼「幾何意義」
dy就是y的一個無窮小的變化,當然可正可負δx可以認為是一個很小的變化,δx的極限就是dx導數大小和dy, δx都沒有什麼關係
12樓:熱心網友
你好:微分的幾何意義是:這個微分方程所表示的曲線上每一個點的斜率k 例如y=x2的微分是y=2x 曲線y=x2任何x點的斜率=2x 就是這個幾何意義。
13樓:匿名使用者
個人理解,
微分,本質上就是把曲線當做直線計算的一種工具,用途在於,將不規則圖形的邊界進行轉化,把他們當做很多個規則圖形的組合。
這樣,這個圖形的面積或者體積就可以計算了,計算的過程,則是積分。
微分的幾何意義與導數幾何意義有何區別
14樓:不老巖
微分的幾何意義是指,設δx表示曲線y=f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy表示曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|是比|δy|的高階無窮小。導數的幾何意義是指,函式影象中某個點m處,當橫座標的變化趨向於0時的縱座標變數與橫座標變數比值的極限,也叫做函式在該點處切線的斜率。
微分在幾何意義方面怎麼用理解?
15樓:匿名使用者
所有引號內的詞語都表示直觀形象但是可能不嚴謹的敘述五角星★內的是關鍵點
假定函式可微,在此基礎上敘述「形象的理解」
如果你在函式影象上間隔固定的x軸距離δx取點,就可以得到一組離散的點。可以把這些點之間用線段連起來,這樣這函式圖象就變成了一條「折線」。當減小這個固定距離的時候,點就會越來越密。
折線「看起來」就會越來越像函式「真正的樣子」。直觀理解,如果這個固定距離「變成」「無窮小」,那麼這折線就會「變成」函式圖象「原本的樣子」。
(很遺憾,下面一段有圖就很好理解。但知道上沒有圖,只能用繁瑣抽象的文字敘述了,希望你有耐心看完,並不複雜,只是要耐心看。打這麼多字也不容易)
我們現在在這些折線的點中任選兩個相鄰的作為我們關注的物件。這兩個點的x軸座標分別為x0和x0+δx。現在我們在x0點作一條切線g(x) = a x + b。
a是切線的斜率(很明顯,函式在x0點的這個斜率a只和這個點x0有關,如果x0固定了,它自然就是固定的常量了。而δx是我們另外引入的一個量,兩者當然無關)。當從x0點到x0+δx時,切線也有個增量δg(x) = g(x0 + δx) - g(x0) = a δx,而對應的f(x)的增量δy = f(x0 + δx) - f(x0)。
我們知道函式的增量計算很麻煩,往往是非線性的。那麼能不能將其「化為」我們容易理解的,線性的呢?★也就是說,我們想用切線的增量來近似代替函式的真正增量δy。
★那麼這必然就有一個誤差o(δx) = δf(x) - δg(x) = δy - a δx。如果這個誤差o(δx) 是「可控的」,也就是說它比切線的增量a δx 「小若干個數量級」(高階無窮小),以至於「幾乎不影響a δx的值」。從而我們可以安全的「忽略誤差」,這時我們就可以「安全地」用a δx 來「代替」函式實際的增量δy,並稱其為函式在x0點處的微分。
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