1樓：立言與徳
多元函式的全微分（其實叫微分就夠了）有兩種意義。一種是傳統的解釋，一種則是在微分流形理論中所給的解釋。相比較而言，後者完美，當然也比較抽象。
先說傳統解釋。以三元函式 f(x, y, z) 為例，其微分
的意義體現在估算函式增量上：當自變數從 (x, y, z) 變化到 (x + \delta x, y + \delta y, z + \delta z) 以後，相應的函式增量的定義是
對這個增量進行近似計算的時候，如果只是準確到增量的一階項，則有
至此，就出現了微分的傳統意義：如果把自變數的微分解釋為自變數的增量，則函式的微分給出的函式增量的近似值，準確到各個自變數的增量的一階項。也就是說，它和精確的函式增量之差是各個自變數增量的高階無窮小，如下所示：
所以，傳統意義上的全微分可以用這樣一句話來概括：全微分是函式增量的線性化。
這種解釋雖然容易理解，但是也有說不清的地方。其一，微分和增量畢竟是兩碼事，一個是「無窮小」的東西，一個是有限的東西，後者無論怎樣小也不能變成前者，因為「沒有最小，只有更小。」其二，為什麼在全微分表示式（即第一個式子）中左右兩邊精確地相等，到了第三個式子就成了近似了？
這還是說明增量和微分有天壤之別，那麼這種分別到底在**？沒有講清楚。
微分流形理論就把這件事情講清楚了。
首先，它不認為微分（不管它是自變數的微分還是因變數的微分）是無窮小，因為「無窮小」本來就是說不清的東西，以說不清的東西來解釋其他事情豈不是等於沒有解釋？
其次，函式 f 的微分必須要和空間點 p (x, y, z) 聯絡在一起，不同的點上的 df 是不可以等同看待的。所以，p 點的那個 df 應該記作
以區別於其他點上的 df.
在上述基礎上，微分流形理論把 p 點的 df 看作一個對映。微分流形理論把這件事情講得比較抽象，抽象到和座標沒有關係，講清楚這些問題就差不多要給你開微分流形課程了，所以我還是借用座標來說好了：如果 p 點有一個向量 v，它沿著 x 軸、y 軸和 z 軸的分量分別是 x, y, z，則說
把這個向量 v 對映為一個數
一句話：函式 f 在 p 點的微分是一個關於向量 v 的函式。這個函式對向量 v 是線性依賴的。
特別是，微分 dx 在 p 點也是一個關於向量 v 的線性函式，它把 v 直接對映為 v 的 x 分量 x; 其他如 dy, dz 等也是類似的。
為什麼這樣定義呢？首先，它完滿地繞過了莫名其妙的無窮小概念；而所導致的公式和傳統意義上的微分公式是一樣的：
其次，這種定義的幾何解釋也很明確。設想有一條曲線 c 經過點 p，而且在 p 點的切向量剛好是 v，那麼函式 f 限制在曲線 c 上就是一個一元函式了(自變數是 c 的曲線引數)。這時候，你對這一個一元函式求導數，則 p 點對應的那個導數值就是倒數第二個式子。
你可以實際計算一下就可以檢驗這個結論。用一個例子可以直觀地說明一切。假設 f 代表三維空間中的溫度分佈（不隨時間變化），你在空中沿著曲線 c飛翔，那麼你就會隨著時間的不同而感受到不同的溫度，這時候你當然可以計算你所感受的溫度的變化率了。
在你經過 p 的時候，假設你的速度剛好是 v，則你計算出來的溫度變化率就是倒數第二個式子所給的結果。
一元函式有一個圖說明微分的幾何意義（其中給出了dy,△y的區別），誰能給出二元函式全微分的幾何意義**
2樓：匿名使用者
dy指的是函式
在某點切線方向上增量（當函式可導時函式從xo變化到xo+△x時候）,△y指的是函式曲線上函式的增量（函式從xo變化到xo+△x時候）兩者的差距從影象上可以看到，相差很小，所以dy用來近似計算。
我不會在這上面畫影象，見笑了啊！我說的請參考對不對啊！
3樓：匿名使用者
級數不夠。f(x,y)=x^2+y^2;則fx=2x,fy=2y;令u=x^2+y^2；則du=2xdx+2ydy.
不知道，這個你能不能理解。
二元全微分公式的有沒有幾何意義?有的話是什麼?謝謝
4樓：匿名使用者
可以代表切平面法向量
這不太好寫啊
看看同濟高數下冊吧，有推導
多元函式的全微分問題，如下圖。
5樓：小茗姐姐
方法如下所示。
請認真檢視。
祝你學習愉快，每天過得充實，學業進步！
滿意請釆納！
多元函式微分的幾何應用
6樓：
數二多元函式微分學的幾何應用是考的。
考研數學二考試
大綱之多元函式微積分學：
多元函式微積分學考試要求
1. 瞭解多元函式的概念，瞭解二元函式的幾何意義．
2. 瞭解二元函式的極限與連續的概念，瞭解有界閉區域上二元連續函式的性質．
3. 瞭解多元函式偏導數與全微分的概念，會求多元複合函式一階、二階偏導數，會求全微分，瞭解隱函式存在定理，會求多元隱函式的偏導數．
4. 瞭解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，瞭解二元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函式的最大值和最小值，並求解一些簡單的應用問題．
5. 瞭解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角座標、極座標）
二元函式偏導數的幾何意義是什麼？
7樓：匿名使用者
二元函式：f(x，y) 當給定一個y的值c不變之後f(x，c) 就變成了一元函式，記為u(x)
此時偏導數： ∂f/∂x 在（x，c）上的值就是du/dx 的值！因此偏導數∂f/∂x的幾何意義
就和一階導數du/dx的幾何意義是一樣的（如瞬時變化率...）！這相當於用y=c的一個平面去截一個二維曲面得到一條曲線。
同樣∂f/∂y的幾何意義相當於用平面x=c擷取得到一條曲線v(y)。
如果想判斷一座山峰東西南北坡哪個方向比較陡峭或平緩就可以用偏導數的值的大小
來確定！當然最好用方向導數來判斷。數學中好多概念都可以在自然界、各行各業、生活當中找到鮮明的解釋。一旦深入掌握這些概念，就能激發出創造性。
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微分的幾何意義,微分的本質幾何意義是什麼
幾何意義 設 x是曲線y f x 上的點m的在橫座標上 的增量,y是曲線在點m對應 x在縱座標上的增量,dy是曲 線在點m的切線對應 x在縱座標上的增量。當 x 很小時,y dy 比 x 要小得多 高階無窮小 因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。設函式y f x 在x的鄰域內有定義,x...
多元隱函式求全微分，求隱函式的全微分
第一題，參照二元隱函式對數求導法，將z x y z變形，得 xlnz zlny 下面就是求微分的一般方法了 lnzdx x z dz lnydz z y dy移項化簡 dz z 2dy yzlnzdx xy yzlny 第二題，令t1 xz,t2 z y,則z f t1,t2 用fi 表示f t1,...
二次函式的幾何意義,二次函式b的幾何意義是什麼
a的正負表示拋物線的開口方向,正表示向上,負表示向下,a的大小反應拋物線的開口大小,a絕對值越大開口越小拋物線越陡,a絕對值越小開口越大,拋物線越平緩,b再除以負的兩倍的a,就得到了拋物線的對稱軸橫座標,b加上c為拋物線的準線的縱座標,c當然就是截距了,就是拋物線在y軸上的橫座標 定義與定義表示式 ...