1樓:尹六六老師
y2=x+1也是可以的,
不過,特解一般寫成y=f(x)的形式,
所以,最後還是開平方好一些。
另外,如果開平方得到y=-√(x+1),
那麼,x=0時,y=-1,
不符合初始條件,
所以,題解中捨去了。
2樓:
y'=1/2,不可能是負
【大一高數】求微分方程x^2y'=(x-1)y的通解。
3樓:匿名使用者
分離變數就可以了。整理方程得到:
dy/y=(x-1)dx/x2=[(1/x)-(1/x2)]dx兩邊積分,得到:
lny=(lnx)+(1/x)+c......
專............c為任意常數
兩邊同時作屬為e的指數,消去對數函式得到:
y=dx · exp(1/x)..................d=e的c次方,亦為任意常數;exp(1/x)表示e的(1/x)次方
高等數學:微分方程x*(dy/dx) = y+x^3的通解是y=?
4樓:匿名使用者
即微分方程y'-y/x=x2
那麼du
按照一階線性微zhi分方程的基本公dao式y=e^∫
專1/x dx *(c+∫x2 e^∫-1/x dx dx)顯然∫1/x dx=lnx,那麼e^∫1/x dx=x代入得屬到y= x *(c+∫x dx)
=cx + x3 /2,c為常數
5樓:鐵背蒼狼
解:∵微分方bai程為xdy/dx=y+x3,du化為(1/x)dy/dx-y/x2=x
∴有d(y/x)/dx=x,y/x=x2/2+c(c為任意常zhi數)
∴方程的通dao
解為y=x3/2+cx
各位大佬,高數非齊次線性微分方程的特解y*怎麼設?就是qm(x),怎麼設。
6樓:粒下
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x),其特解y*設法分三種情況。
1、如果f(x)=p(x),pn(x)為n階多項式。
若0不是特徵值,在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中,k=0,λ=0;因為qm(x)與pn(x)為同次的多項式,所以qm(x)設法要根據pn(x)的情況而定。
比如如果pn(x)=a(a為常數),則設qm(x)=a(a為另一個未知常數);如果pn(x)=x,則設qm(x)=ax+b;如果pn(x)=x^2,則設qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特徵方程的單根,在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中,k=1,λ=0,即y*=x*qm(x)。
若0是特徵方程的重根,在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中,k=2,λ=0,即y*=x^2*qm(x)。
2、如果f(x)=p(x)e^αx,pn(x)為n階多項式。
若α不是特徵值,在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中,k=0,即y*=qm(x)*e^αx,qm(x)設法要根據pn(x)的情況而定。
若α是特徵方程的單根,在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中,k=1,即y*=x*qm(x)*e^αx。
若α是特徵方程的重根,在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中,k=2,即y*=x^2*qm(x)*e^αx。
3、如果f(x)=[pl(x)cos(βx)+pn(x)sin(βx)]e^αx,pl(x)為l階多項式,pn(x)為n階多項式。
若α±iβ不是特徵值,在令特解y*=x^k*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx中,k=0,m= max ,rm1(x)與rm2(x)設法要根據pl(x)或pn(x)的情況而定(同qm(x)設法要根據pn(x)的情況而定的原理一樣)。
即y*=[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx
若α±iβ不是特徵值,在令特解y*=x^k*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx中,k=1,即y*=x*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx。
7樓:匿名使用者
如圖qm(x)是與pm(x)同次的多項式
舉個例子
二階微分方程為......=2e^x
此時pm(x)=2
設qm(x)=b
如果二階微分方程為......=2xe^x
設qm(x)=ax+b
如果二階微分方程為......=2x2e^x
設qm(x)=ax2+bx+c(不過這種情況的題目很少很少見,我是沒見過)
rm(x)是m次多項式,m=max
什麼意思呢?
跟上面的類似。
假設二階微分方程為......e^x(2cosx+2sinx)明顯此時為pl(x)=pn(x)=2,那麼就是x^0設rm1(x)=a,rm2(x)=b
如果二階微分方程為......e^x(2xcosx+2sinx)這時候最大次數是x^1,
所以設rm1(x)=ax+b,rm2(x)=cx+d二次方的我就不列舉了,很少見。
8樓:命定
先將原方程等號右端的自由項看成 f(x)=x^k · pm(x) · e^λx 方程1
1、對應題主的情況一,qm(x)=b0
原方程 y"+y'-2y=2e^x
原方程對應的齊次特徵方程 r^2+r-2=0,
齊次特徵根 r1=1
r2=-2
然後看到原方程等號右端為 2e^x,
將 2e^x 與 x^k·pm(x)·e^λx 比較,很明顯可以看出λ=1
λ=1=r1,而λ≠r2,可以看到λ為單特徵根因為只與其中的一個r1相等
所以k=1,因為單特徵根所以k取1。
還記得回答頂部的方程1嗎?
方程1變成了 f(x)=x^1 · pm(x) · e^1x =x · e^x · pm(x)
發現m還不知道,再將 x·e^x·pm(x) 與 2e^x 比較,
很明顯可以看出pm(x)=2,所以設qm(x)=b0,常數對應常數嘛
因為 f(x)=x·e^x·pm(x) 中的x是根據k取得,跟pm(x)無關
e^x是根據λ取得,跟pm(x)也無關。
所以 pm(x) 只可能與 2e^x 的常數2有關。既然pm(x)只與常數有關,
那就設qm(x)為一個常數b0
所以 y*=x^k · pm(x) · e^λx
最後設為 y*=b0 · x · e^x
2、對應題主的情況二,qm(x)=b0x+b1
同理原方程 y"-3y'+2y=x·e^2x
r1=1,r2=2
比較e^2x與e^λx,所以λ=2
λ=2=r2,所以λ為單特徵根,所以k=1
此時原方程等號右端還有一個 x ,就是留下來對比pm(x)的
所以 qm(x) 設為 b0x+b1 形式
所以最後y*=x^k · qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x
即y*= x · (b0x+b1) · e^2x
3、對應題主的情況三,qm(x)=b0x^2+b1x+b2
原方程 2y"+5y'=5x^2-2x-1
r1=0
r2=-5/2
對比λ=0=r1,所以k取1,
而pm(x)要去對應5x^2-2x-1,所以qm(x)設為b0x^2+b1x+b2
所以最後y*=x^k · qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x
即y* = b0x^3+b1x^2+b2x
大一高數微分方程的通解問題 (1)xy'+1=e^y;(2)y''-y=xe^-x
9樓:經若南繩羽
令y(x)=u(x)*e^帶入抄
化簡可得
襲:u''+2u'+2u-x=0
令v(x)=u(x)+(1-x)/2帶入化簡可得:v''+2v'+2v=0
解得v(x)=(acosx+bsinx)*e^
從而u(x)=v(x)+(x-1)/2=(acosx+bsinx)*e^+(x-1)/2
從而y(x)=u(x)*e^=acosx+bsinx+[(x-1)/2]*e^
一般在特解不知的情況下,觀察非線性項,上面方法可以給出通解.
依你的題意,給出了特解[(x-1)/2]*e^,微分方程的通解就是y''+y=0之解acosx+bsinx與特解的和.
也就是把方程的非線性項去掉,解出線性方程的通解,再疊加特解.
10樓:皋翰翮陳昆
^^1)xdy/dx=e^襲y-1
dy/(e^y-1)=dx
d(e^y)[1/(e^y-1)-1/e^y]=dx積分:ln|(e^y-1)/e^y|=x+c1(e^y-1)/e^y=ce^x
y=-ln(1-ce^x)
2)特徵根為:1,
-1,因此通解為:y1=c1e^x+c2e^(-x)特解可設為:y2=x(ax+b)e^(-x)y2'=(2ax+b-ax^2-bx)e^(-x)y2"=(2a-4ax-2b+ax^2+bx)e^(-x)代入原方程:
2a-4ax-2b=x
比較係數得:2a-2b=0,
-4a=1,
得:a=b=-1/4,
因此原方程通解為:y=y1+y2=c1e^x+c2e(-x)-x(x+1)/4*
e^(-x)
全微分方程,高數,在高數解微分方程的時候,全微分方程的求解公式是怎麼來的望達人告知一下推導過程感激不盡
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