1樓:西域牛仔王
均值不等式可求乘積為定值,
3/a+2/b 的分母中有字母,而分子中沒有,因回此必須把分子湊上字答母,
考慮已知條件 2a+b=1 ,可以把 3 寫成 6a+3b ,2 寫成 4a+2b ,
也可以直接在前面乘以 2a+b ,
即 3/a+2/b = (2a+b)*(3/a+2/b) ,然後,結果一樣。
這是利用均值定理的重要技巧,經常使用,注意學習掌握。
2樓:匿名使用者
因為這樣化簡才能產生類似x+1/x≥2√x*1/x=2的效果
3樓:匿名使用者
題目上面應該有個2a+b=1這個條件吧
所以就是3(2a+b)/b+2(2a+b)/a就這麼來的
4樓:匿名使用者
因為這樣會讓兩個數的積為定值!
5樓:洛陽回答
3=3*1=3*(2a+b)
什麼是基本不等式?
6樓:風飲晨露
^均值不等式:
n/(1/a1+1/a2+......+1/an)<=n次根號(a1*a2*......*an)<=
(a1+a2+......+an)/n<=根號((a1^2+a2^2+......+an^2)/n)
柯西不等式
(a1^2+a2^2+......+an^2)(b1^2+b2^2+......+bn^2)>=
(a1*b1+a2*b2+......+an*bn)^2基本結論
a^2+b^2>=2ab
a+b>=2*根號ab
7樓:匿名使用者
不等式inequality
用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子。例如x2+y2≥2xy,sinx≤1,ex>0 ,2x<3等。根據解析式的分類也可對不等式分類,不等號兩邊的解析式都是代數式的不等式,稱為代數不等式;只要有一邊是超越式,就稱為超越不等式。
例如lg(1+ x)>x是超越不等式。
通常不等式中的數是實數,字母也代表實數,不等式的一般形式為f(x,y,......,z)≤g(x,y,......,z )(其中不等號也可以為<,≥,> 中某一個),兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域,不等式既可以表達一個命題,也可以表示一個問題。
不等式的最基本性質有:1如果x>y,那麼y 由不等式的基本性質出發,通過邏輯推理,可以論證大量的初等不等式,其中比較有名的有: 柯西不等式:對於2n個任意實數x1,x2,...,xn和y1,y2,...,yn,恆有(x1y1+x2y2+...+xnyn)2≤(x12+x22+...+xn2)(y12+y22+...+yn2)。 排序不等式:對於兩組有序的實數x1≤x2≤...≤xn,y1≤y2≤...≤yn,設yi1,yi2,...,yin是後一組的任意一個排列,記s=x1yn+ x2yn-1+...+xny1,m=x1yi1+x2yi2+...+xnyin,l=x1y1+x2y2+...+xnyn,那麼恆有s≤m≤l。 根據不等式的基本性質,也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有:1不等式f(x)< g(x)與不等式 g(x)>f(x)同解。 2如果不等式f(x) < g(x)的定義域被解析式h( x )的定義域所包含,那麼不等式 f(x) 不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地,用純粹的大於號、小於號「>」「<」連線的不等式稱為嚴格不等式,用不小於號(大於或等於號)、不大於號(小於或等於號) 「≥」「≤」連線的不等式稱為非嚴格不等式,或稱廣義不等式。 8樓:匿名使用者 基本不等式在高中階段主要指的有兩個: 1)a^2+b^2≥2ab(a,b∈r,當且僅當a=b時等號成立) 2)a+b≥2√ab(a>0,b>0,當且僅當a=b時等號成立) 9樓:絕世小笨笨 a^2+b^2-2ab>=0 a^2+b^2>=2ab 10樓:聞俐甄碧 樓上的求導也太不厚道了.明顯的高中題目上高等數學... 不等式為什麼要想辦法湊常數,比如我求y=x+1/x^2這個函式在(0,+inf)上的極小值,我當然知道直接用基本不等式得到的是y>=1/x^0.5在x=1時"="時成立,你也可以說y就是大於這個z=1/x^0.5,可是從這裡你怎麼知道y到底能小到多少呢? 因為z是在變的,y(1)在x=1那個地方大於z(1)不能說明y(x)在其他的地方不會比z(1)更小(因為在其他的地方z(x)也可以變得更小,小於z(1).) 可是如果我用這個技巧: y=(1/2)x+(1/2)x+1/x^2,再用三項的基本不等式,我可以得到y>=3/4^(1/3).這是個常數(就是第一種情況裡的z(x)為常數),也就是說,首先我的y(x)在任何一點比z(x),在x=時"="成立,(這和剛才的方法是一樣的情況),不一樣的在於:現在因為z(x)是常數,我y>=z就成了大於一個常數了,而這個常數就是一個極小值. 用以上的技巧 1.注意單位圓的內接三角形面積0= =12,極值取在s=3/2點包含在上述區間中.所以可以取到這個極值(如果極值點在這個區間外就取不到了) 2.令(x/2)^2=s,(y/3)^2=t,s*t=1/36且0<=s<=1,0<=t<=4/9. u=1/(1-s)+1/(1-t)直接使用基本不等式: u>=^(1/2), 注意u>0總是成立的.帶入s*t=1/36,得: u>=^(1/2) 注意,因為s+t>=2(s*t)^0.5=1/3 所以分母:7/6-(s+t)<=5/6 所以整個分數2/[7/6-(s+t)]>=12/5 所以整個u>=(12/5)^0.5 注意,這裡用了兩次不等式,可是因為兩次不等式取等號都是在s=t=1/6的時候,所以這個極小值可取到的! 基本不等式是怎麼證明的? 11樓:匿名使用者 設x、y為任意實數,則 (x-y)的平方大於等於0,即 x的平方-2xy+y的平方大於等於0,於是得 x的平方+y的平方大於等於2xy;設a等於x的平方、b等於y的平方,則 2xy等於2根號(ab),所以得到 a+b大於等於2根號(ab),其中a、b為正實數.本來a、b等於0時,不等式也是成立的,但考慮實用性,故只取正數. 12樓:匿名使用者 不等式的證明 1.比較法 作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小 作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0. 作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1 例1 求證:x2+3>3x 證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3 =+≥>0 ∴ x2+3>3x 例2 已知a,b r+,並且a≠b,求證 a5+b5>a3b2+a2b3 證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵ a,b r+ ∴ a+b>0, a2+ab+b2>0 又因為a≠b,所以(a-b)2>0 ∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0 ∴ a5+b5>a3b2+a2b3 例3 已知a,b r+,求證:aabb≥abba 證明: = ∵a,b r+,當a>b時,>1,a-b>0,>1; 當a≤b時,≤1,a-b≤0, ≥1. ∴ ≥1, 即aabb≥abba 綜合法瞭解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式 定理1 如果a,b r,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號) 證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 當且僅當a=b時取等號.所以 a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號). 定理2 如果a,b,c r+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號) 證明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc, 很明顯,當且僅當a=b=c時取等號. 例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. 放縮法這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性— a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了. 例,證明當k是大於1的整數時,, 我們可以用放縮法的一支——"逐步放**",證明如下: 分析法從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立. 分析法的證明過程表現為一連串的"要證......,只要證......",最後推至已知條件或真命題 例 求證: 證明:構造圖形證明不等式 例:已知a,b,c都是正數,求證: +>分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2ab cosc,為了得到a2+b2+ab的形式,只要c=120°, 這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊 可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊 可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊 構造圖形如下, ab=, bc=, ac=顯然ab+bc>ac,故原不等式成立. 數形結合法 數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關係如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關係直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,通過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性. 通過數形結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化. 例.證明,當x>5時,≤x-2 解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍.在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象. 設它們交點的橫座標是x0, 則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立. 反證法先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立. 窮舉法對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況). 注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可通過運用多種方法來提高自己的思維能力. 設a bc,b ac,c ab a 2 b 2 c 2 2bc cosa b 2 c 2 bc 3 bc 3 b 2 c 2 2bc bc 3，當b c 3時取得等號，此時即為等邊三角形。s bc sina 2 3 4 bc 3 3 4,此為面積最大值。作ad垂直於bc，設ad y，角bad x，則... 一 注意基本bai定理應滿足的條件基本du不等式具有將 和zhi式 轉化 dao為 積式 與將版 積式 轉化權為 和式 的功能,但一定要注意應用的前提 一正 二定 三相等 所謂 一正 是指 正數 二定 指應用定理求最值時,和或積為定值,三相等 是指滿足等號成立的條件.二 連用基本不等式要注意成立的條... 一正二定三相等.是指抄在用襲不等式a b 2 ab證明或求解bai問題時所規定和強調的特殊要du求zhi。一正 a b 都必須是正數 dao 二定 1.在a b為定值時,便可以知道a b的最大值 2.在a b為定值時,就可以知道a b的最小值 三相等 當且僅當a b相等時,等號才成立 即在a b時,...數學基本不等式高中數學基本不等式鏈是什麼四個不等式，麻煩畫張圖
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