1樓：
建議上標用^, 下標用_.
然後為了簡便, 這裡就用a'表示a的轉置.
1. 這是一個結論: 若b是m×n實矩陣, 則r(b) = r(b'b).
進而也有r(b) = r(b') = r(bb').
證明: 考慮線性方程組bx = 0 ①與b'bx = 0 ②, 證明二者同解.
不妨在實數域上討論(秩是與數域無關的. 如果在複數域上討論只需稍加修改).
若x滿足①, 自然有b'bx = b'(bx) = 0, 即①的解也是②的解.
若x滿足②, 則(bx)'bx = x'b'bx = 0.
設bx = (y_1,y_2,...,y_m)', 則有y²_1+y²_2+...+y²_m = 0, 故y_1 = y_2 = ... = y_m = 0.
即得bx = 0, ②的解也是①的解.
①的解空間維數n-r(b) = ②的解空間維數n-r(b'b).
故r(b) = r(b'b), 證畢.
注意實矩陣的條件是必要的, 復矩陣可以有反例: 如b =
i -1
1 ir(b) = 1, 但r(b'b) = 0.
2. bb'是3階方陣, r(b'b) = 3, 故bb'可逆.
與可逆矩陣相乘不會改變矩陣的秩(性質4)).
所以r(a) = r(abb').
不過話說回來, 個人認為這個證法不好.
不僅需要b是實矩陣的額外條件, 而且屬於無謂的使用技巧.
實際上, 由r(b) = 3, 存在b的3列線性無關, 它們構成b的一個子矩陣c.
c是3階方陣且r(c) = 3, 即c可逆.
由矩陣乘法可知, ac也是ab的一個子矩陣, 得r(ab) ≥ r(ac).
但c可逆, 故r(ac) = r(a), 於是r(ab) ≥ r(a).
又r(a) ≥ r(ab), 即得r(ab) = r(a).
2樓：匿名使用者
^1. 參見
得 r(a) = r(a^ta)
所以 r(a) = r(a^t) = r(aa^t)2. 利用性質 4) 即得.
線性代數中關於矩陣秩的問題，r(a，b)與r(ab)的區別，請舉例說明！
3樓：艹呵呵哈哈嘿
一、計算方法不同
1、r(ab)：若a中至少有一個r階子式不等於零，且在r子式全為零，則a的秩為r。
在m*n矩陣a中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為a的一個k階子式。
2、r(a,b)：當r(a)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的一個2階子式。
二、計算結果不同
1、r(ab)：r(ka)=r(a)，k不等於0。
2、r(a,b)：r(a)<=min(m,n)，a是m*n型矩陣
4樓：匿名使用者
1樓說法是錯誤的，
矩陣秩和是不是方陣無關，如果談及行列式，才必須是方陣，r(a，b)是a，b的增廣矩陣，必須具有相同的維數常用在解線性方程組中，例如
a=1 2 3
4 5 6
b=1 4 7 4
3 5 8 10
（a,b)=
1 2 3 1 4 7 4
4 5 6 3 5 8 10
r(a，b)就是求上面矩陣的秩
與r(ab)有本質的區別
ab就是兩個向量相稱，要求前一個向量的列數=後一個向量的維數即設a為m行*3列形式
那b必須是3行*n列的形式
然後計算他們的乘積後，求秩
5樓：匿名使用者
首先a只有是個方陣，r(a，b)與r(ab)才有意義。
r(a，b)是矩陣(a，b)的秩
r(ab)是矩陣ab的秩
根本就是兩個不同矩陣的秩，基本沒有任何關聯。
關於矩陣的秩幾個問題
6樓：電燈劍客
"一個bai矩陣乘上一
個數，du它的秩會發生變化zhi嗎dao"
乘以零一般會變化（除非原來的矩陣回是答零矩陣），非零則肯定不變。
「一個矩陣的秩等於1，它是不是隻有一個非零特徵值」
假定這個矩陣是方陣（不然就不談特徵值了），那麼它最多隻有一個特徵值非零，當然也可能所有特徵值都是零，比如說
0 0 1
0 0 0
0 0 0
關於求矩陣的秩幾個問題
7樓：什麼神馬吖
第一 秩的定義你就不懂 【b的秩除了算出丨b丨=0外，還有什麼方法可以得出秩為2？】 秩指的非零子矩陣n的大小
第二：為什麼算a的秩，要化成方程=0求a值？ a的秩小於3時|a|等於零 故而
第三 當a=-1時為什麼秩是1？代入矩陣化行最簡即可
8樓：匿名使用者
|b|=0不能推出r(b)=2。
常用的求秩方法是：將矩陣通過行變換成行最簡矩陣，行最簡矩陣的非零行就是矩陣的秩。
對於有未知數的矩陣，還是優先使用上面的方法，不過如果行變換過於複雜，那麼對於簡單的矩陣，可以直接將行列式，求使行列式為零的未知數的解。
|a|=(a-2)(a+1)^2，a=-1是|a|=0的二重根，所以r(a)=n-2=1。
關於矩陣的秩的性質。
9樓：匿名使用者
最後要證明的是秩相等，也就是等號成立，但到目前（也就是你問的地方）為止還沒有完全證出來，只是證明了r(b)>=r，因此後面肯定還要證明r(b)<=r。經過一次第一類或第二類初等變換後，矩陣b有一個r階子式不為0，因此按秩的定義，只能得到b的秩不會小於r，至於是否相等，還要看後面的證明。
關於矩陣的秩的定義的問題
10樓：中興大臣
最初開始學的時候，定義是最開始的那一種，然後隨著對矩陣學習的深入，可以逐漸證明第一種定義算出來的秩與行秩，列秩是相等的，而且第一種不常用，到後面一般都是用行秩，列秩來求矩陣的秩
關於線性代數轉置矩陣的問題，一個關於線性代數轉置矩陣的問題
兩側同時右乘ct的逆矩陣得 到a i c b t ct 表示逆 兩側同時轉置得到 i c b at c 兩側同時左回乘 i c b 的逆得到 at i c b c 同時轉置得到a c t i c b t 這樣解答答要求所有矩陣都可逆，且i c b可逆，你題目中並沒有，所以題目是有瑕疵的 首先，我們知...
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