1樓：星光下的守望者
化為極座標
原式=∫
[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr
=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²
第二類換元法
令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²
r²∈[0,1] -> t∈[1,0]
=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt
=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]
=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]
=π [π/8 - 1/4]
=π*（π-2）/8
其中用到了：
∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+c
資料請見
過程有點複雜，可能還有更好的方法我沒有找到
計算二重積分.∫∫根下｛（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)｝dσ,d：x＾2+y＾2<=ax的二重積分 15
2樓：浮生梔
化為極座標，原式=∫[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr
=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²
第二類換元法
令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²
r²∈[0，1] -> t∈[1,0]
=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt
=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]
=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]
=π [π/8 - 1/4]
=π*（π-2）/8
其中用到了：
∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+c
擴充套件資料
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函式，在一個實數區間上的定積分可以理解為在座標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。
積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出（「黎曼積分」）。黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起，更高階的積分定義逐漸出現，有了對各種積分域上的各種型別的函式的積分。
比如說，路徑積分是多元函式的積分，積分的區間不再是一條線段（區間[a,b]），而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。
計算二重積分i= ∫∫根號下1-x^2-y^2 dxdy 其中d： x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0 (∫∫符號下為d) 要詳解
3樓：午後藍山
這個用極座標
令x=pcosa,y=psina
a∈[0，π/2]
p∈[0,1]代入得
原積分=∫[0，π/2]∫[0,1]√(1-p^2)*pdpda=∫[0，π/2]da∫[0,1]√(1-p^2)*pdp=π/2*(-1/2)∫[0,1]√(1-p^2)d(1-p^2)=π/2*(-1/3)(1-p^2)^(3/2)[0,1]=π/6
計算二重積分。 ∫∫根下（r^2-x^2-y^2）dσ，d是由圓周x＾2+y＾2=rx所圍成的區域,求解答過程。。。。。。
4樓：星光下的守望者
化成極座標形式的積分
x＾2+y＾2=rx的極座標方程為r=rcost (t∈[-π/2,π/2])
又根據對稱性有：
原積分=2∫[0->π/2]∫[0->rcost] (r^2-r^2)^(1/2)rdrdt
=2∫[0->π/2] -(2/3)(r^2-r^2)^(3/2) | [0->rcost] dt
=2∫[0->π/2] -(2/3)[(rsint)^3-r^3] dt
= (4/3)∫[0->π/2] r^3-(rsint)^3 dt
= (4/3)[r^3(π/2-0) - (r^3)∫[0->π/2] (sint)^3dt]
= (2/3)πr^3-(4/3)(1!!/3!!)r^3
= (2/3)πr^3-(4/9)r^3
= (2r^3)/3}(π-4/3)
其中用到了∫[0->π/2] (sint)^ndt=(n-1)!!/n!! 當n為奇數時
(π/2)*(n-1)!!/n!! 當n為偶數時
我算出的結果和你給的結果有點出入，也許是我算錯了吧，不過方法就是這樣的
12.計算二重積分∫∫ 1/根號下 1+x^2+y^2 其中積分割槽域為{(x,y)|x^2+y^2小於等於3}
5樓：匿名使用者
【數學之美】團隊為您解答，若有不懂請追問，如果解決問題請點下面的「選為滿意答案」。
急！極座標求解二重積分 :∫∫【(1+x^2+y^2)/（1-x^2+y^2）】^1/2dxdy 其中d是由圓周x2+y2=1及座標軸所圍 50
6樓：折枝尋鵲
題目發錯了吧，我見過這道題，:應該是∫∫【(1+x^2+y^2)/（1-x^2-y^2）】^1/2dxdy 吧，留下郵箱吧，我把過程寫下來發給你
不好意思還有一個問題。求二重積分∫∫y*（根號下（1+x^2-y^2））dxdy,其中d是由直線y=x,x=-1,y=1所圍成
7樓：嵇德宇支典
|本題需要先積y，若先積x計算量會很大。
∫∫（y√1+x²-y²）dxdy
=∫[-1--->1]
dx∫[x--->1]（y√1+x²-y²）dy=(1/2)∫[-1--->1]
dx∫[x--->1]（√1+x²-y²）d(y²)=(-1/2)∫[-1--->1]
(2/3)(1+x²-y²)^(3/2)
|[x--->1]
dx=(-1/3)∫[-1--->1]
[|x|³-1]
dx注意這裡不能寫x³，因為x有負值
被積函式是偶函式，由奇偶對稱性
=(-2/3)∫[0--->1]
[|x|³-1]
dx=(2/3)∫[0--->1]
[1-x³]
dx=(2/3)(x-x⁴/4)
|[0--->1]
=(2/3)(1-1/4)
=1/2
8樓：匿名使用者
哦，剛看到
你先把積分割槽域畫出來吧，以y=-x這條直線為分界線，分成兩個三角形這個首先可以根據對稱性吧
y=-x以下的三角形面積因為y一正一負相互抵消的所以你就看y=-x以上的那個三角形面積
其實就是2倍的在第一象限積分割槽域所得的積分= ∫ 0到1 dx 乘以∫（x到1） （根號（1+x2-y2） dy2）
= ∫ 0到1 (-2/3x3+2/3)dx=1/2你寫的那個我看不懂不過答案倒是一樣的
求二重積分∫∫d （1-x^2-y^2)^(1/2)dδ=?,其中d={(x,y)|x^2+y^2<=1}
9樓：匿名使用者
^【俊狼獵英】團隊為您解答~
直接極座標換元，x^2+y^2=r^2，區域d是0<=θ<=2π，0<=r<=1
原積分=∫(0,2π)dθ∫(0,1)r√(1-r^2)dr=π∫(0,1)√(1-r^2)dr^2
=-2π/3(1-r^2)^(3/2)|(0,1)=2π/3
二重積分問題 (1)計算∫∫根號下（y^2-xy) dxdy,區域d={y=x,x=0,y=1} （2）區域d={(x,y)| x^2+y^2<=1},計
10樓：南海閒俠
題不全！總體上可以看出這個二重積分用極座標求。
11樓：匿名使用者
^∫∫根號下（y^2-xy) dxdy=∫(0,1)[∫(0,y）根號下（y^2-xy) dx]dy
=∫(0,1)[∫(0,y）(-y)*y根號下（1-x/y) d(1-x/y]dy
=∫(0,1)[∫(0,y）(-y)*y根號下（1-x/y) d(1-x/y]dy
=∫(0,1)[(-y^2*2(1-x/y)^1.5/3|(0,y)dy
==∫(0,1)[-2y^2/3]dy=-2y^3/9|(0,1)=2/9
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