1樓:匿名使用者
rt△duabc,∠zhiacb=90°,cd是斜邊ab上的中線,dao求證cd=1/2ab
證明:過點d作cb的平行線回交ac於e,
則de是△abc的中位線,(中位線的意義)答∵da=db
∴ea=ec(平行線截得比例線段定理)
∵在△aed和△ced中
ea=ec(已證)
∠aed=∠ced=90°(∠acb=90° ,二直線平行同位角相等,同旁內角互補)
ed=ed
∴△aed≌△ced(sas)
∴cd=ad
同理可證
cd=db
∴2cd=ad+db
cd=1/2ab
2樓:匿名使用者
把兩直角三角形拼成矩形,由於矩形對角線相等,且互相平分
如何證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
3樓:babyan澀
證法1:
δabc是直角三角形,作ab的垂直平分線n交bc於d
∴ ad=bd(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)
以db為半徑,d為圓心畫弧,與bc在d的另一側交於c'
∴dc』=ad=bd∴∠bad=∠abd ∠c』ad=∠ac』d (等邊對等角)
又∵∠bad+∠abd+∠c』ad+∠ac』d =180°(三角形內角和定理)
∴∠bad+∠c』ad=90° 即:∠bac』=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac』
∴c與c』重合(也可用垂直公理證明 :假使c與c』不重合 由於ca⊥ab,c』a⊥ab 故過a有ca、c』a兩條直線與ab垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設不成立 ∴c與c』重合)
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中線且ad=bc/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理
證法2:
δabc是直角三角形,ad是bc上的中線,作ab的中點e,連線de
∴bd=cb/2,de是δabc的中位線
∴de‖ac(三角形的中位線平行於第三邊)
∴∠deb=∠cab=90°(兩直線平行,同位角相等)
∴de⊥ab
∴e是ab的垂直平分線
∴ad=bd(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)
∴ad=cb/2
證法3:運用向量證明
已知rt△abc中,∠bac=90°,ad是中線。求證bc=2ad
證明:設向量ac=b,向量ab=c,向量bc=a,向量ad=d
∵ad是bc的中線
∴c+b=2d
∴(c+b)2=4d2
括號,得|c|2+2c·b+|b|2=4|d|2
又∵c⊥b
∴c·b=0,|c|2+|b|2=|a|2
∴得|a|2=4|d|2
開方得|a|=2|d|,即bc=2ad
證法4:運用矩形的性質證明
延長ad到e,使de=ad,連線be,ce
∵bd=cd,∠bac=90°
∴四邊形abec是矩形
∴bc=ae=2ad
證法5:解析幾何證明
以a為原點,ac為x軸,ab為y軸建立直角座標系,並設c(2c,0),b(0,2b),那麼d(c,b)
證法6:圓
作rt△abc外接圓
∵∠bac=90°
∴bc是直徑(90°的圓周角所對的弦是直徑)
∴d是圓心,ad是半徑
∴bc=2ad
4樓:允藉拱昕靚
直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。
設在直角三角形abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc的中線,求證:ad=1/2bc。
【證法1】
延長ad到e,使de=ad,連線ce。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd,
又∵∠adb=∠edc(對頂角相等),
ad=de,
∴△adb≌△edc(sas),
∴ab=ce,∠b=∠dce,
∴ab//ce(內錯角相等,兩直線平行)
∴∠bac+∠ace=180°(兩直線平行,同旁內角互補)∵∠bac=90°,
∴∠ace=90°,
∵ab=ce,∠bac=eca=90°,ac=ca,∴△abc≌△cea(sas)
∴bc=ae,
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
向左轉|向右轉
【證法2】
取ac的中點e,連線de。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd=1/2bc,
∵e是ac的中點,
∴de是△abc的中位線,
∴de//ab(三角形的中位線平行於底邊)∴∠dec=∠bac=90°(兩直線平行,同位角相等)∴de垂直平分ac,
∴ad=cd=1/2bc(垂直平分線上的點到線段兩端距離相等)。
向左轉|向右轉
【證法3】
延長ad到e,使de=ad,連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd,
又∵ad=de,
∴四邊形abec是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠bac=90°,
∴四邊形abec是矩形(有一個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
向左轉|向右轉
5樓:奈羽續基
連線斜邊中點和其中一條直角邊中點,因為兩個都是中點,因此這條是中位線,所以垂直該直角邊
靠該直角邊一側的三角形中線垂直平分底邊,因此此中線(1的中位線)分該三角形為兩個全等三角形,因此對邊相等(直角三角形中線和斜邊的一半)
然後就得出來了.......
怎樣證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
6樓:匿名使用者
「直角三角
復形斜邊上的中制線等於斜邊的一半」bai
,來自矩形性質「du矩形的對角線互相平zhi分且相等」,要證dao明這個定理,將中線延長一倍,先證矩形,再得到本推論。
已知:在δabc中,∠acb=90°,oc是中線,求證:oc=1/2ab,
證明:延長co到d,使od=oc,連線ad、bd,∵oa=ob,∴四邊形acbd是平行四邊形,又∠acb=90°,∴平行四邊形acbd是矩形,∴oa=oc=ob,
∴oc=1/2ab。
7樓:粽粽有料
▶延長ad到復e,使de=ad,連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線制,
∴bd=cd,
又∵ad=de,
∴四bai邊形duabec是平行zhi四邊形(對角線互相平dao分的四邊形是平行四邊形),
∵∠bac=90°,
∴四邊形abec是矩形(有一個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
8樓:三角涵數
用矩形,斜邊就是對角線
怎麼證明定理直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
9樓:匿名使用者
直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。
設在直角三角形abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc的中線,求證:ad=1/2bc。
【證法1】
延長ad到e,使de=ad,連線ce。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd,
又∵∠adb=∠edc(對頂角相等),
ad=de,
∴△adb≌△edc(sas),
∴ab=ce,∠b=∠dce,
∴ab//ce(內錯角相等,兩直線平行)
∴∠bac+∠ace=180°(兩直線平行,同旁內角互補)∵∠bac=90°,
∴∠ace=90°,
∵ab=ce,∠bac=eca=90°,ac=ca,∴△abc≌△cea(sas)
∴bc=ae,
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
【證法2】
取ac的中點e,連線de。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd=1/2bc,
∵e是ac的中點,
∴de是△abc的中位線,
∴de//ab(三角形的中位線平行於底邊)∴∠dec=∠bac=90°(兩直線平行,同位角相等)∴de垂直平分ac,
∴ad=cd=1/2bc(垂直平分線上的點到線段兩端距離相等)。
【證法3】
延長ad到e,使de=ad,連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd,
又∵ad=de,
∴四邊形abec是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠bac=90°,
∴四邊形abec是矩形(有一個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
10樓:粽粽有料
▶延長ad到e,使de=ad,連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd,
又∵ad=de,
∴四邊形abec是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠bac=90°,
∴四邊形abec是矩形(有一個角是90°的平行四邊形是矩形),∴ae=bc(矩形對角線相等),
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
11樓:夜空中一片雲
定理:如果一個三角形是直角三角形,那麼這個三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
δabc是直角三角形,ad是bc上的中線,作ab的中點e,連線de∴bd=cb/2,de是δabc的中位線
∴de‖ac(三角形的中位線平行於第三邊)∴∠deb=∠cab=90°(兩直線平行,同位角相等)∴de⊥ab
∴de是ab的垂直平分線
∴ad=bd(線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等)∴ad=cb/2
12樓:少女心的女漢子
設在直角三角形abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc的中線,求證:ad=1/2bc。
延長ad到e,使de=ad,連線ce。
∵ad是斜邊bc的中線,
∴bd=cd,
又∵∠adb=∠edc(對頂角相等),
ad=de,
∴△adb≌△edc(sas),
∴ab=ce,∠b=∠dce,
∴ab//ce(內錯角相等,兩直線平行)
∴∠bac+∠ace=180°(兩直線平行,同旁內角互補)∵∠bac=90°,
∴∠ace=90°,
∵ab=ce,∠bac=eca=90°,ac=ca,∴△abc≌△cea(sas)
∴bc=ae,
∵ad=de=1/2ae,
∴ad=1/2bc。
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