1樓：匿名使用者
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
證明這個式子一般都是用下面的方法：
因為(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1，分別取k=1，2，…，n寫出n個等式：
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
…… (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
把這n個等式兩邊相加，得到
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n
即n^3+3n^2+3n=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3n(n+1)/2+n
由此可以解得：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
用完全類似的方法，可以求得
1^3+2^3+…+n^3
1^4+2^4+…+n^4……
2樓：唐破曉
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一個很好玩的做法
想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形
再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形
然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，
我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1
而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
求數列1平方，2平方，3平方n平方的前n項和
1 6 n n 1 2n 1 解答過程如下 設s 1 2 2 2 n 2 n 1 3 n 3 3n 2 3n 1 n 3 n 1 3 3 n 1 2 3 n 1 1 2 3 1 3 3 1 2 3 1 1 把上面n個式子相加得 n 1 3 1 3 1 2 2 2 n 2 3 1 2 n n 所以s ...
1平方 2平方 3平方n平方怎麼算
平方和公式 1 2 3 n n n 1 2n 1 6.推理如下 2 1 3 1 3 1 1 3 2 3 2 3 2 1 4 3 3 3 3 2 1 n 1 n 3n 3n 1 以上n個式子相加，得 n 1 1 3 1 2 3 n 3 1 2 3 n 1 1 1 1 即 n 1 1 3 1 2 3 n...
計算 1的平方 3的平方99的平方2的平方 4的平方100的平方
1的平方 3的平方 99的平方 2的平方 4的平方 100的平方 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 99 2 100 2 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 99 100 99 100 1 1 2 1 3 4 1 5 6 1 99 100 1 1 2 3 4 5 6 99 ...