1樓：匿名使用者
歡迎採納，不要點錯答案哦╮(╯◇╰)╭
第二題比較難，所以不太確定對不對，結果都是4π
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2樓：匿名使用者
(1)，
記積分曲面之橢球面為∑，
在∑內添做一個小球面∑1：xx+yy+zz=aa，取內側，
將在∑與∑1圍成的空間區域d上用高斯公式。
原式=∫∫〔∑〕…+∫∫〔∑1〕…-∫∫〔∑1〕…
=∫∫∫〔d〕0dv-∫∫〔∑1〕…
=-∫∫〔∑1〕…
=+∫∫〔∑1取外側〕…
=∫∫〔∑1外側之上半球面〕zdxdy/aaa+∫∫〔∑1外側之下半球面〕zdxdy/aaa①
+∫∫〔∑1外側之前半球面〕xdydz/aaa+∫∫〔∑1外側之後半球面〕xdydz/aaa②
+∫∫∫〔∑1外側之右半球面〕ydxdz/aaa+∫∫〔∑1外側之左半球面〕ydxdz/aaa③
上式共3行①②③，以下計算其中的第一行①，
另兩行②③的計算方法類似結果相同。
有①=2∫∫〔∑1外側之上半球面〕zdxdy/aaa
=2∫∫〔上述曲面在xoy面的投影域d1：xx+yy《aa上〕√aa-xx-yydxdy/aaa
用極座標計算上述二重積分得到
=2∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕r*√aa-rrdr/aaa
=2*2π*(1/3)
=4π/3。
於是得到本題結果=4π。
(2)，
方法參看(1)，結果應為2π。核對一下。
曲面積分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
3樓：匿名使用者
第一題∫∫σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (1/a³)∫∫σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= (1/a³)∫∫σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (1/a³)∫∫d a²/√(a² - x² - y²) dxdy
= (1/a)∫(0，2π) ∫(0，a) r/√(a² - r²) drdθ
= 2π
第二題要注意些地方，用高斯公式是最方便的
由於這個不是封閉曲面，所以要在下面加上一個平面，但是也要繞過不連續的奇點部分
所以，這個平面是一個圓環，從yz面或zx面正看這立體的平面圖，是一道彩虹的樣子
裡面的曲面是小球體x² + y² + z² = λ²，外面的曲面是橢球體x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1
p，q，r的偏導數都相等 ==> 結果與曲面無關(跟格林公式的積分與路徑無關的原理相似)
選最簡單的曲面σ1：x² + y² + z² = λ²，取下側
還要補上圓環σ2：z = 0，取下側
∫∫σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (- 1/λ³)∫∫σ1 x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (- 1/λ³)∫∫d λ²/√(λ² - x² - y²) dxdy
= (- 1/λ)∫(0，2π) ∫(0，λ) r/√(λ² - r²) drdθ
= - 2π
而∫∫σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= ∫∫σ2 0dxdy/(x² + y²)^(3/2) = 0
原積分i = 0 - (- 2π) - 0 = 2π
第二題你的思想沒錯，結果與曲面無關，可以任選包含奇點的曲面
(外曲面取上側，內曲面取下側；反之亦然)，總之原積分不可以包含該奇點，要把其排除在外
用高斯公式計算曲面積分∫∫(zdxdy+xdydz+ydzdx)/(x^2+y^2+z^2)
4樓：匿名使用者
解題過程如下圖：
電場強度對任意封閉曲面的通回量只取決於該封閉曲面內電荷的代數和答，與曲面內電荷的位置分佈情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。在真空的情況下,σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數和。當存在介質時,σq應理解為包圍在封閉曲面內的自由電荷和極化電荷的總和。
高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性。
高斯定理是從庫侖定律直接匯出的，它完全依賴於電荷間作用力的平方反比律。把高斯定理應用於處在靜電平衡條件下的金屬導體，就得到導體內部無淨電荷的結論，因而測定導體內部是否有淨電荷是檢驗庫侖定律的重要方法。
曲面積分ffxdydz+ ydxdz+ z^2dxdy曲面為z=（x^2+y^2）^（1/2）在
5樓：du知道君
(1)， 記積分曲面之橢球面為∑， 在∑內添做一個小球面∑1：xx+yy+zz=aa，取內側， 將在∑與∑1圍成的空間區域d上用高斯公式。 原式=∫∫〔∑〕…+∫∫〔∑1〕…-∫∫〔∑1〕… =∫∫∫〔d〕0dv-∫∫〔∑1〕… =-∫∫〔∑1〕… =+∫∫〔∑1取外側〕… =∫∫〔∑1外側之上半球面〕zdxdy/aaa+∫∫〔∑1外側之下半球面〕zdxdy/aaa① +∫∫〔∑1外側之前半球面〕xdydz/aaa+∫∫〔∑1外側之後半球面〕xdydz/aaa② +∫∫∫〔∑1外側之右半球面〕ydxdz/aaa+∫∫〔∑1外側之左半球面〕ydxdz/aaa③ 上式共3行①②③，以下計算其中的第一行①， 另兩行②③的計算方法類似結果相同。
有①=2∫∫〔∑1外側之上半球面〕zdxdy/aaa =2∫∫〔上述曲面在xoy面的投影域d1：xx+yy《aa上〕√aa-xx-yydxdy/aaa 用極座標計算上述二重積分得到 =2∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕r*√aa-rrdr/aaa =2*2π*(1/3) =4π/3。 於是得到本題結果=4π。
(2)， 方法參看(1)，結果應為2π。核對一下。
計算曲面積分zdxdy xdydz ydzdx,其中是柱面x y 1被平面z 0和z
把x y z 1帶進去之後bai 原曲面 du，補上三個坐zhi標平面 1，2，3形成封閉dao曲面，用高專斯定理，因為在屬三個座標平面上的積分為0，所以原積分 1 2 1 2 3 xdydz ydzdx zdxdy 3 2 dv 3 2 8 1 6 2。對於閉曲面內部有奇點的情形，也可以仿照格林公...
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