1樓：匿名使用者
級數1/lnn!的斂散性:
∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p).
先討論∑1/(n·(ln(n))^p) (p ≠ 1)的斂散性.
這個可以用積分判別法, ∫ 1/(x·(ln(x))^p) dx = ∫ 1/(ln(x))^p d(ln(x)) = ln(x)^(1-p)/(1-p)+c (p ≠ 1).
當p > 1時, 無窮積分收斂, 級數收斂.
當0 < p < 1時, 無窮積分發散, 級數發散.
於是當p > 1, 由n充分大時0 < 1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p) < 1/(n·(ln(n))^p),
根據比較判別法, 由∑1/(n·(ln(n))^p)收斂得∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p)收斂.
而當0 < p < 1, 取q使p < q < 1, 則n充分大時有0 < 1/(n·(ln(n))^q) < 1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p).
根據比較判別法, 由∑1/(n·(ln(n))^q)發散得∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p)發散.
p = 1單獨討論, 用積分判別法.
∫ 1/(x·ln(x)·ln(ln(x))) dx = ∫ 1/(ln(x)·ln(ln(x))) d(ln(x)) = ∫ 1/ln(ln(x)) d(ln(ln(x))) = ln(ln(ln(x)))+c.
無窮積分發散, 故級數發散.
綜上, 當p > 1時級數收斂, 而當0 < p ≤ 1時級數發散。
2樓：卿佛
∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p).
先討論∑1/(n·(ln(n))^p) (p ≠ 1)的斂散性.
這個可以用積分判別法, ∫ 1/(x·(ln(x))^p) dx = ∫ 1/(ln(x))^p d(ln(x)) = ln(x)^(1-p)/(1-p)+c (p ≠ 1).
當p > 1時, 無窮積分收斂, 級數收斂.
當0 < p < 1時, 無窮積分發散, 級數發散.
於是當p > 1, 由n充分大時0 < 1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p) < 1/(n·(ln(n))^p),
根據比較判別法, 由∑1/(n·(ln(n))^p)收斂得∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p)收斂.
而當0 < p < 1, 取q使p < q < 1, 則n充分大時有0 < 1/(n·(ln(n))^q) < 1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p).
根據比較判別法, 由∑1/(n·(ln(n))^q)發散得∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p)發散.
p = 1單獨討論, 用積分判別法.
∫ 1/(x·ln(x)·ln(ln(x))) dx = ∫ 1/(ln(x)·ln(ln(x))) d(ln(x)) = ∫ 1/ln(ln(x)) d(ln(ln(x))) = ln(ln(ln(x)))+c.
無窮積分發散, 故級數發散.
綜上, 當p > 1時級數收斂, 而當0 < p ≤ 1時級數發散.
無窮級數1/lnn的斂散性怎麼判斷
3樓：
比較審斂法，和∑1/n比較，∑1/n發散，1/lnn＞∑1/n，所以原函式發散。
判斷函式斂散性，可以有比值審斂法、根值審斂法、比較審斂法等，見同濟大學第六版下冊
比值審斂法：後項與前項比值為ρ，ρ＜1時，原來級數收斂；ρ＞1，級數發散；ρ=1，本方法失效。
根值審斂法：對級數求n次方根，ρ＜1時，原級數收斂；ρ＞1，級數發散;ρ=1，本方法失效。
比較審斂法：兩個級數，un每項都小於vn，大級數vn收斂的話，un收斂；un發散的話，vn發散。
4樓：l一
比較法即可，∑1/lnn的一般項1/lnn為正，直接與調和級數∑1/n比較，因為1/lnn＞1/n，而∑1/n發散，故原級數發散。
判別法：
正項級數及其斂散性
如果一個無窮級數的每一項都大於或等於0，則這個級數就是所謂的正項級數。
正項級數的主要特徵就是如果考慮級數的部分和數列，就得到了一個單調上升數列。而對於單調上升數列是很容易判斷其斂散性的：
正項級數收斂的充要條件是部分和數列有界。
有界性可以通過許多途徑來進行判斷，由此我們可以得到一系列的斂散性判別法。
比較比較審斂法：
⑴一個正項級數，如果從某個有限的項以後，所有的項都小於或等於一個已知收斂的級數的相應項，那麼這個正項級數也肯定收斂。
⑵反之，一個正項級數，如果從某個有限的項以後，所有的項都大於或等於一個已知發散的級數的相應項，那麼這個正項級數也肯定發散。
如果說逐項的比較還有些麻煩的話，可以採用如下的極限形式：對於正項級數和 ，如果 ，即它們的通項的比趨向於一個非0的有限值，那麼這兩個級數具有相同的斂散性。
積分對於正項級數如果存在一個單調下降連續函式f（x），有 ，那麼級數 與廣義積分 具有相同的斂散性。
絕對收斂
實際上針對正項級數的斂散性判別法的有效範圍還可以擴大，也就是說，還可以用於判斷更多的級數是收斂的。這是通過引入絕對收斂的概念而得到的。
如果我們把一個任意項的級數的每一項都取絕對值，那麼就得到了一個正項級數，如果這個正項級數是收斂的，那麼這個任意項級數就被稱為是絕對收斂的。
給出絕對收斂這麼一類任意項級數的好處，就在於：一個級數如果是絕對收斂的，那麼也就一定是收斂的。
絕對收斂級數不僅具有可以應用針對正項級數的斂散性的判別法的特性，還具有如下的性質：
如果把任意項級數的所有正項都保持不變，而所有負項都更換為0，那麼就得到一個正項級數 ；如果把它的所有負項都改變符號，而正項都更換為0，則得到另一個正項級數 ，然後就得到一個任意項級數的絕對收斂的充要條件，為正項級數與都收斂。從這個性質能夠得到一個推論，即：如果任意項級數絕對收斂，就有。
作為加法交換律的一個推廣，對於正項級數，如果任意改變它的各項的相加順序，不會改變它的斂散性，同樣，對於絕對收斂級數也有這樣的性質。
不只是對於加法的交換律，對於絕對收斂級數的乘積也有性質：
如果兩個任意項級數都絕對收斂，那麼它們的各項的乘積，按照任意方法排列而得到的級數同樣絕對收斂，並且和為兩個任意項級數的和的乘積。
5樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
6樓：薇爾莉特騎士團團員
根據極限審斂法， ∑1/lnn = lim n / linn = n = +∞，故發散
級數(1/n(lnn)∧p)斂散性
7樓：假面
具體回答如圖：
當n趨向於無窮大時，級數的通項是否趨向於零，若不趨於零，則級數發散。
再看級數是否為幾何級數或p級數，因為這兩種級數的斂散性是已知的，如果不是幾何級數或p級數，用比值判別法或根值判別法進行判別，如果兩判別法均失效。
再用比較判別法或其極限形式進行判別，用比較判別法判別，一般應根據通項特點猜測其斂散性，然後再找出作為比較的級數，常用來作為比較的級數主要有幾何級數和p級數等。
8樓：匿名使用者
僅當p>1時收斂，如圖是分析過程。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
9樓：
解：分享一種解法，利用積分比較法求解。
∵將"級數∑1/[n(lnn)^p]（n=1,2，……,∞）"視作"連續」過程，則與積分∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]有相同的斂散性。
而，p=1時，∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞，發散。當p≠1時，∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]=[1/(1-p)](lnx)^(1-p)丨(x=2,∞)。顯然，1-p<0、p>1時收斂；1-p>0時發散。
∴p>1時，級數∑1/[n(lnn)^p]收斂；p≤1時，級數∑1/[n(lnn)^p]發散。
供參考。
10樓：茹翊神諭者
分類討論即可
詳情如圖所示，有任何疑惑，歡迎追問
(-1)^n/lnn的斂散性
11樓：假面
結果為：收斂
解題過程如下：
lim(n→∞)1/ln(1+n)/(1/n)=lim(n→∞) n/ln(1+n)
=lim(n→∞) 1/(1/(n+1))=lim(n→∞) n+1
=∞lim(n→∞)1/ln(1+n)=0且 1/ln(1+n)>1/ln(n+2)∴交錯級數收斂
在交錯級數中，常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性，即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零，則該級數收斂；此外，由萊布尼茨判別法可得到交錯級數的餘項估計。最典型的交錯級數是交錯調和級數。
12樓：易悠
根據萊布尼茲定理，三個條件，正負交替，遞減，趨於零，都滿足，所以收斂
13樓：匿名使用者
考慮它的絕對值。 絕對值收斂，則這個級數也收斂
判斷級數1/ln(n!)的斂散性
14樓：禾鳥
級數1/ln(n!)的發散。
解法一：
顯然有lnn!=ln1+ln2+ln3+...+lnn於是1/lnn!>1/(nlnn)
而級數求和（n從2到無窮）1/(nlnn)發散
因此原級數發散。
解法二：
在【2，+∞】上有：
∑1/ln(n!)=1/ln2+1/(ln2+ln3)+1/(ln2+ln3+ln4)+.....+1/(ln2+ln3+ln4+.....+lnn)
a‹n›=1/(ln2+ln3+ln4+.....+lnn)=1/lnn!
a‹n+1›=1/[ln2+ln3+ln4+.....+lnn+ln(n+1)]=1/ln(n+1)!
利用拉阿伯判別法：若a‹n›>0(n=1，2，3，......)及n→∞limn[(a‹n›/a‹n+1›)-1]=p，
則當p>1時級數收斂；當p<1時級數發散。
n→∞lim
=n→∞lim{n[lnn!-ln(n+1)!]/ln(n+1)!=n→∞lim[-nln(n+1)/ln(n+1)!]<1
故原級數發散。
擴充套件資料
數列的斂散性：
對數列（點列）只討論當其項序號趨於無窮的收斂性；對一元和多元函式最基本的有自變數趨於定值（定點）的和自變數趨於無窮的這兩類收斂性；對多元函式還有沿特殊路徑的和累次極限意義下的收斂性；對函式列（級數）有逐點收斂和一致收斂。
如級數1+2+3+4+5...和1-1+1-1+1-1+1...，也就是說該級數的部分和序列沒有一個有窮極限。
判斷級數n從1到正無窮tan（1 n）的斂散性
當n趨近於無窮時也是如此，只要1 n在這個區間內，tan 1 n 1 n，所以是發散的。若x x0使數項級數 專un x0 收斂，就 屬稱x0為收斂點bai，由收斂點組成的集合稱為收斂域，若對每一x i，級數 un x 都收斂，就稱i為收斂區間。級數收斂的一個必要條件是它的通項以0為極限，如果任意有...
級數斂散性問題,判斷級數斂散性
後項比前項的絕對值 1 1 1 n n 1 趨於1 e 1 級數絕對收斂 求級數n到無窮抄。絕對襲值條件下的a n 1 a n 1 所以級數bai收斂。中間步驟可以分步求極du限得出,zhi再考慮正負號問題,先加dao絕對值,求級數極限,由上可知,為收斂,去掉絕對值,為交錯級數,為發散。所以此級數為...
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比較無窮小的階 1 n 2 1 n 2 lnn 為同階無窮小 所以原級數與 1 n 2斂散性相同.收斂 無窮級數 1 n,從1到無窮的和怎麼求 級數都是n從1到無窮,xn的和函式怎麼求要根據通項xn的具體形式。沒有統一的求法。這是一個調和級數,是發散的,其無窮項之和等於無窮大。無窮級數斂散性判定,1...