1樓:匿名使用者
對於積分來說,改變變數名是不影響積分值的
t可以變成x,變成y,變成z。看需要
反常積分的求導,什麼情況下需要換元什麼情況下不用
2樓:匿名使用者
變數是否需要換元
就是看積分函式裡
有沒有要求導的自變數
這裡上面的式子有x-t
那麼就不能直接對x求導,需要進行換元
而下面的式子只是t,與x無關
所以可以直接求導代入,不用再換元
求大神幫忙解答關於反常積分的計算題∫e∧(-x2)dx積分上限為+∞下限為0
3樓:匿名使用者
法一:∫(0→+∞) e^(- x2) dx
= (1/2)∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx
= (1/2)i
i2 = ∫∫ e^(- x2 - y2) dxdy = ∫∫ e^[- (x2 + y2)] dxdy
{ x = rcosθ,0 ≤ θ ≤ 2π
{ y = rsinθ,0 ≤ r ≤ +∞
i2 = ∫∫ e^(- r2) rdrdθ = ∫(0→2π) ∫(0→+∞) e^(- r2) rdrdθ
= 2π * (- 1/2)e^(- r2):(0→+∞)
= 2π * (- 1/2)(0 - 1)
= π於是i = √π
從而∫(0→+∞) e^(- x2) dx = √π/2
法二:設i = ∫(0→+∞) e^(- x2) dx
考慮:∫(0→+∞) e^(- sx2) dx,令t = x√s
= (1/√s)∫(0→+∞) e^(- t2) dt = i/√s
i2 = ∫(0→+∞) ie^(- x2) dx,令u = x2
= ∫(0→+∞) ie^(- u)/(2√u) du
= ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) * i/√u du
= ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) ∫(0→+∞) e^(- ut2) dtdu
= ∫(0→+∞) ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) * e^(- ut2) dudt
= ∫(0→+∞) ∫(0→+∞) (1/2)e^[- (1 + t2)u] dudt
= ∫(0→+∞) 1/[2(1 + t2)] dt
= (1/2)arctan(t):(0→+∞)
= π/4
i = √π/2
法三:考慮∮ e^(- z2)/[1 + e^(- 2αz)] dz
其中c為以- r,s,s + i*lm(a),- r + i*lm(a)為頂點的矩形
g(z) = e^(- z2)/[1 + e^(- 2αz)],α = (1 + i)√(π/2)
g(z) - g(z + α) = e^(- z2)
∮ e^(- z2)/[1 + e^(- 2αz)] dz = 2πi*res[g(z),α/2] = √π = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx
==> ∫(0→+∞) e^(- x2) dx = √π/2
找這個積分的方法太多了,還有尤拉函式,斯特靈公式,ζ函式等等也可以。
4樓:匿名使用者
^設 a=∫e^(-x2)dx 上下限為 +∞ -∞a2= ∫e^(-x2)dx * ∫e^(-y2)dy = ∫∫e^-(x2+y2)dxdy
把x-y正交座標系換成極座標系
a2=∫∫ e^(-r2)rdrdθ r上下限 0到 +∞ ,θ上下限 0到2π
得到a2 = π
a = π^(1/2)
又 初始積分上下限是0到+∞
i=a/2= 0.5 π^(1/2)
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