1樓:時間留給寶
假設∑1/n收斂bai,記部份和為dusn,且設lim(n→∞zhidao)sn=s
於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾內
所以級數∑1/n是發散的容
級數1/(n+1)收斂還是發散?為什麼?
2樓:不是苦瓜是什麼
發散,因為它和1/n等價,lim(1/n)/ [1/(n+1)] = 1 (n趨近於∞時),所以它們的斂散性一致。
又因為1/n發散,所以1/(n+1)也發散。
收斂級數對映到它的和的函式是線性的,從而根據哈恩-巴拿赫定理可以推出,這個函式能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法,並且也由於這種運算元的存在性證明訴諸於選擇公理或它的等價形式,例如佐恩引理,所以它們還都是非構造的。
1/n發散的原因:
0<∑1/n2<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n,所以收斂。
至於∑1/n.考慮函式ln(1+x) - x,其導數為1/(1+x) -1。
當x恆大於0時,導數恆小於0,當x=0時,ln(1+x)-x =0,
當x>0時,ln(1+x) - x <0 ,所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。
1/n > ln(n+1)-ln(n),所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很顯然不收斂。
1/(n*n)收斂的原因:
可以用1/x*x的積分放大估計,也可以用按2的k次方集項估計:
第一項等於1,第二第三項之和小於1/2(小於兩個1/2的平方,第4項到第7項之和小於1/4(四個1/4平方之和),第8項到第15項之和小於1/8(八個1/8平方之和.)
總之,小於收斂的公比為1/2的等比級數,所以收斂。
級數1/(1+n)為什麼是發散的
3樓:匿名使用者
因為調和級數∑1/n發散
而1/(n+1)等價於1/n
從而級數∑1/(1+n)發散。
高數。級數1/n(n從1開始到無窮)為什麼是發散的??
4樓:甜美志偉
理由如下:
假設∑1/n收斂,記部份和為sn,且設lim(n→∞)sn=s
於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾
所以級數∑1/n是發散的。
擴充套件資料:
級數收斂
如果每一un≥0(或un≤0),則稱∑un為正(或負)項級數,正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列** 有上界。
例如∑1/n!收斂,因為:**=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
有無窮多項為正,無窮多項為負的級數稱為變號級數,其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(u0)的級數,稱之為交錯級數。
判別這類級數收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 :若un ≥un+1 ,對每一n∈n成立,並且當n→∞時lim un=0,則交錯級數收斂。
例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對於一般的變號級數如果有∑|un|收斂,則稱變號級數絕對收斂。如果只有 ∑un收斂,但是∑|un|發散,則稱變號級數條件收斂。
例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂,而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。
如果級數的每一項依賴於變數x,x 在某區間i內變化,即un=un(x),x∈i,則∑un(x)稱為函式項級數,簡稱函式級數。若x=x0使數項級數∑un(x0)收斂,就稱x0為收斂點,由收斂點組成的集合稱為收斂域,若對每一x∈i,級數∑un(x)都收斂,就稱i為收斂區間。
顯然,函式級數在其收斂域內定義了一個函式,稱之為和函式s(x),即s(x)=∑un(x)如果滿足更強的條件,**(x)在收斂域內一致收斂於s(x) 。
絕對收斂
一個收斂的級數,如果在逐項取絕對值之後仍然收斂,就說它是絕對收斂的;否則就說它是條件收斂的。
簡單的比較級數就表明,只要∑|un|收斂就足以保證級數收斂;因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級數∑un的收斂,而且把原級數表成了兩個收斂的正項級數之差。由此易見,絕對收斂級數同正項級數一樣,很像有限和,可以任意改變項的順序以求和,可以無限分配地相乘。
但是條件收斂的級數,即收斂而不絕對收斂的級數,決不可以這樣。這時式右邊成為兩個發散(到+∞)的、其項趨於零的、正項級數之差,對此有黎曼定理。
5樓:我是一個麻瓜啊
級數1/n,n從1開始到無窮:
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...大於1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
因為:1 +1/2>1/2+1/2,1/3 +1/4>1/4+1/4,1/5+ 1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8。
注意後一個級數每一項對應的分數都小於調和級數中每一項,而且後面級數的括號中的數值和都為1/2,這樣的1/2有無窮多個,所以後一個級數是趨向無窮大的,進而調和級數也是發散的。
6樓:匿名使用者
假設∑1/n收斂,記部份和為sn,且設lim(n→∞)sn=s於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾
所以級數∑1/n是發散的
7樓:阿亮臉色煞白
記s[n]=1+1/2+...+1/n。假設它收斂到s。
可見,s[2n]=s[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>s[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=s[n]+n/(2n)=s[n]+1/2.
兩邊讓n→∞得到s=s+1/2,無解。所以它是發散的。
8樓:幸運的皮皮瞎
可以放縮一下,再用判別法。n>0時有n>ln(n+1)則有1/n>ln(1/n+1)=ln[(n+1)/n]。∑ln[(n+1)/n]=ln(2/1)+ln(3/2)+......+ln[(n+1)/n]=ln2-ln1+ln3-ln2+......+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)。
當n趨於正無窮的時候ln(n+1)=∞。則∑ln[(n+1)/n]發散。再由正項級數斂散性判別法可知∑(1/n)也發散
9樓:小情歌
他本身是一個發散級數啊
為什麼級數n分之1發散，為什麼級數1 n是發散的？
證明如下 因此該級數發散。擴充套件資料 反證法 假設調和級數收斂 則 但與版矛盾，故假設不真權，即調和級數發散。中世紀後期的數學家ore e在1360年就證明了這個級數是發散的。他的方法很簡單 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8...
為什麼級數1n是發散的,1n2是收斂的
1 n 是發散的,1 n 2 是收斂的,相信老師在課堂上會作為例題詳細推導的,不適合在這裡解釋為什麼。為什麼1 n數列的級數發散而1 n 2的數列級數就收斂呢 你的問復 題在於,單獨一項lim n 制1 n 0 為什麼lim n bai1 n發散,這是因du為函式的極限不具有可加性zhi.可以舉很多...
如何證明交錯級數1 n n 3 n
如圖所示 這是絕對收斂。1 2 4 5 6 都是絕對收斂的.1 取絕對值後即 1 2n 1 2.由1 2n 1 2 1 n2,而 1 n2收斂,用比較判別法即得.2 取絕對值後即 1 n 2 n 由1 n 2 n 1 2 n,而 1 2 n收斂,用比較判別法即得.4 取絕對值後即 sin na n ...