1樓:匿名使用者
解:sn=a1(q^n-1)/(q-1)
s3+s6=2s9
a1(q^3-1)/(q-1)+a1(q^6-1)/(q-1)=2a1(q^9-1)/(q-1)
整理,得
2q^3(q^3+1)=0
q=0(捨去)或q=-1
q=-1
2樓:匿名使用者
sn=a1(q^n-1)/(q-1)
a1(q^3-1)/(q-1)+a1(q^6-1)/(q-1)=2a1(q^9-1)/(q-1)
q^3+q^6=2q^9
q≠02q^6-q^3-1=0
(2q^3+1)(q^3-1)=0
q^3=-1/2 q=-1/2^(1/3)或q^3=1 q=1
3樓:凌雲之士
當q≠1,a1*(1-q^3)/(1-q)+a1*(1-q^6)/(1-q)=2a1*(1-q^9)/(1-q),q≠1且q≠0,解得 q^3=-1/2,q=-1/2^(1/3),當q=1時,sn=na1,3a1+6a1=2(9a1),a1=0捨去,綜上所述q=-1/2^(1/3)
設sn是等比數列的前n項和,若s3,s9,s6成等差數列,這an的公比q為多少
4樓:匿名使用者
解:數列是等比數列,則s3、s6-s3、s9-s6是以q³為公比的等比數列
s6-s3=s3q³,s6=(q³+1)s3s9-s6=s3q⁶,s9=s6+s3q⁶=(q⁶+q³+1)s3s3、s9、s6成等差數列,則2s9=s3+s62(q⁶+q³+1)s3=s3+(q³+1)s32q⁶+q³=0
q³(2q³+1)=0
q=0(捨去)或q³=-½
q=³√(-½)=-³√4/2
等比數列前n項和
5樓:匿名使用者
.前n項和公式
若數列{an}是公比為q的等比數列,則它的前n項和公式是
也就是說,公比為q的等比數列的前n項和是q的分段函式,分段的界限在q=1處.
當q≠1時,求等比數列前n項和sn的方法一般是利用sn的表示式的特點,首先在sn=a1+a1q+…+a1qn-1兩邊同乘以該數列的公比q,使得等式右邊各項都向右錯了一位;然後通過求sn-qsn把相同的項消去,達到簡化的目的;最後從中解出sn.這種方法(俗稱「錯位相減法」)很巧妙,而且對這類數列的求和具有普遍性,應該很好地掌握它.
求等比數列前n項和的方法還有一些,下面再介紹其中的一種:
當q=1時,sn=na1
當q≠1時,
sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn
=a1+q·sn-a1qn
=a1(1-qn)+q·sn
∴(1-q)sn=a1(1-qn),
∴sn=.
在具體運用等比數列前n項和公式時如果考慮不周常會出錯.例如,求和:1+x+x2+…+xn,認為其和為是錯誤的.
【重點難點解析】
本節重點是等比數列前n項和公式及其應用.難點是求和公式的推導.等比數列前n項和公式要注意對公比q進行討論,分q=1和q≠1兩種情況.
求等比數列前n項和的思想和方法在求一些特殊數列的前n項和中經常運用到.
例1 設等比數列{an}的前n項和為sn,若
s3+s6=2s9,求公比q的值.
分析 本題主要考查等比數列求和公式的基礎知識,邏輯推理能力和運算能力.在求解中要全面考慮公式q=1和q≠1兩種情況,否則就會造成失誤.
解法一:若q=1,則s3+s6=3a1+6a1=9a1≠2s9,
所以q≠1.依等比數列前n項和公式有
整理得q3(2q6-q3-1)=0.
因為q≠0,所以2q6-q3-1=0,
(q3-1)(2q3+1)=0.
因為q≠1,所以q3≠1,所以q3=-,
q=-=-.
解法二:因為s3+s6=2s9,所以
2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),
此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9),
-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6),
由此解得q3=-,q=-.
評析 在對等比數列前n項和公式的運用中,要注意充分運用整體代入的方法,如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)這一性質,使運算量減少,也避免了q的討論.
例2 設等比數列的首項為a(a>0)公比為q(q>0),前n項和為80,其中最大的一項為54,又它的前2n項和為6560,求a和q.
解:由sn=80,s2n=6560,故q≠1
化簡得∴有③
知∵a>0,q>1,等比數列遞增數列,故前n項中最大項為an.
∴an=aqn-1=54 ④
將③代入①化簡得a=q-1 ⑤
化簡得3a=2q ⑥
由⑤,⑥聯立方程組解得a=2,q=3
例3 等比數列{an}的前n和等於2,緊接其後的2n項和等於12,再緊接其後的3n項和為s,求s.
分析 本題主要考查等比數列前n項和公式的應用.本題實際為已知sn=2,s3n-sn=12,要求s6n-s3n的值.由等比數列知,前n項成等比數列,緊接其後的2n項也成等比數列,再緊接的3n項也成等比數列,可分別求和列方程.
解:在等比數列中,依次每k項之和仍成等比數列.設前n項和為s1,第2個n項和為s2=s1q,
由②式得q+q2=6,所以q=2或q=-3.
將q=2代入③式得s=112,將q=-3代入③式得s=-378.
例4 求數列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n項和sn.
分析 要求數列前n項的和,必須先求出數列的通項公式.
解:據題設條件分析可知:
an=an-1+an+an+1+…+a2n-2
①當a=1時,an=n,∴sn=.
②當a≠1時,sn==-.
(1)當a≠±1時,sn=[-]
=[(1-an)(1-an+1)]
(2)當a=-1時,sn=[+n]
評析 ①由於通項公式本身是一個等比數列的求和,而公比是字母a,故必須分兩種情況(a=1及a≠1)來討論.
②在進一步求和時,由於又出現公比為a2的等比數列求和,故又得分a2=1及a2≠1來討論,由於a=1已討論,因此本題應分a=1,a=-1,a≠±1三種情況來討論.
【難題巧解點撥】
例1 設等比數列{an}的公比與前n項和分別為q與sn,且q≠1,s10=8.求的值.
分析 一個條件不能確定a1與q.不妨將s10與s20用a1、q表示出來,進行對比,興許有點門道.
解:∵=8,
∴==8.
評析 一些數列問題中的基本量難以確定或不能確定時,不妨設而不求,整體代換.其實,本題尚有以下巧解:
s20=s10+a11+a12+…+a20
=s10+q10s10=s10(1+q10),
故=s10=8.
例2 設等比數列{an}的前n項和為sn,求證:s2n+s22n=sn(s2n+s3n).
分析 從整體結構入手,尋找sn、s2n、s3n之間的關係,作差計算,不僅簡便,而且求解過程完備.
解:設{an}的公比為q,則
s2n=sn+qnsn=sn(1+qn)
s3n=sn+qnsn+q2nsn=sn(1+qn+q2n)
∴s2n+s22n-sn(s2n+s3n)
=s2n+s2n(1+qn)2-s2n[(1+qn)+(1+qn+q2n)]
=s2n+s2n(1+qn)2-s2n[1+(1+qn)2]
=0∴s2n+s22n=sn(s2n+s3n).
評析 本題的結論是等比數列的又一性質:(s2n-sn)2=sn(s3n-s2n),即sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比數列.
例3 已知數列{an}滿足條件:a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比為q(q>0)的等比數列.設bn=a2n-1+a2n,求數列{bn}的前n項和sn.
分析 =q=q=q.
解:∵=q ∴an+2=anq,
∴===q,
且q≠0,b1=1+r≠0
∴{bn}是首項為1+r,公比為q的等比數列,
評析 解題的關鍵是等比數列{bn}的發現,只要緊抓等比數列的定義來分析,就能使隱含著的條件顯露出來,促成問題的快速解決.
希望能幫到你,滿意望採納哦。
6樓:雅默幽寒
sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q) 為等比數列 而這裡n為未知數 可以寫成f(n)=[a1*(1-q^n)]/(1-q) 當q=1時 為常數列 也就是 n個a1相加為
7樓:馮瀅虎照
首先,你用等比數列前n項和,前提就是q不等於-1,然後,若q=-1,則為擺動數列,即正負交替,比如2,-2,2,-2,2,-2……sn=0,s2n=0,s3n=0,成立啊
8樓:水元修後香
解:由等比數列可得
a1=1,a4=1x(q)^(4-1)=1/8解:q=1/2
所以首項為1,公比為1/2的等比數列,
sn=(1-1/2^n)/(1-1/2)
所以帶入sn公式可得sn=[1(1-1/2^10)]/(1-1/2)=2-1/512=1023/512
9樓:強菲仲巳
(1).a(n+1)=(1-%20)an+30%bn(2).bn=1000-an
則a(n+1)=(1-20%)an+30%(1000-an)=1/2*an+300
(3).根據第二題已證明的式子,a(n+1)-600=1/2(an-600)
得到是以1/2為公比的等比數列,an-600=(a1-600)*(1/2)^(n-1)
an=(a-600)*(1/2)^(n-1)+600
設sn是等比數列{an}的前n項和,(1)若s3,s9,s6成等差數列,求證:a2,a8,a5成等差數列.(2)設p,r
已知sn是等比數列{an}的前n項和,若s3,s9,s6成等差數列,則也成等差數列的是( )a.a1,a4,a7b.a
10樓:匿名使用者
∵s3,s9,s6成等差數列,
∴s3+s6=2s9
顯然公比q≠1
a(1?q
)1?q
+a(1?q
)1?q
=2?a
(1?q
)1?q
整理可得,2q9-q6-q3=0即2q6-q3-1=0解可得,q3=?1
2a:a1+a7=a
(1+q
)=12a,a
=a?q
=-12
a,故a不正確
b:a2+a5=a2(1+q3)=12a
,2a=a
?q×2=12a
,故b正確
c:a3+a9=a
(1+q
)=54a,a
=aq=?12
a,故c不正確
d:a1+a5=a
(1+q
),≠2a3,故d不正確故選b
設an是任意等比數列,它的前n項和,前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z,則下列等式中恆成立的是
等比數列的一bai個性質 du 在共有3n項的等比數zhi列中,其前daon項和 x 中間n項和回 y x 最答 末的n項和 z y 這三個和也成等比數列。本題中,則有 y x x z y y 2xy x xz xy x y xy xz 0 y xy xz x y y x x z x 本題選 d 選...
等比數列前n項和為48,前2n項和為60,則前3n項的和為
設公比為q sn a1 1 q n 1 q 48 1 s 2n a1 1 q 2n 1 q a1 1 q n 1 q n 1 q 60 2 2 1 1 q n 60 48 5 4 q n 1 4 所以s 3n a1 1 q 3n 1 q a1 1 q n 1 q 1 q n q 2n 48 1 1 ...
設sn為數列an的前n項和且sn
解 n 1時a1 s1,代入sn 3 2 an 1 得a1 3 2 a1 1 解得a1 s1 3.當n 2時,an sn sn 1,代入sn 3 2 an 1 整理得 sn 3sn 1 3 即有 sn 3 2 3 sn 1 3 2 故數列是一個等比數列 sn 3 2 s1 3 2 3 n 1,由此可...